Die Bellsche Ungleichung

Bevor das Bellexperiment thematisiert wird, sollten noch ein paar Grundlagen wiederholt/eingeführt werden. Falls du mit den Themen gut vertraut bist, kannst du sie auch überspringen.

Exkurs 1: Stochastik (Erwartungswerte und Wahrscheinlichkeitsverteilungen)

Der Erwartungswert beschreibt das zu erwartende Ergebnis eines Zufallsexperiments. Er berechnet sich durch 

Dabei bezeichnet „i“ ein mögliches Ergebnis und P(i) die Wahrscheinlichkeit, dass dieses Ergebnis eintritt.

Die P(i) können in einem Experiment berechnet werden, indem die Anzahl der Versuche, bei denen das Ereignis „i“ auftrat, durch die Gesamtanzahl der Versuche geteilt wird. Bei sehr vielen Versuchen nähert sich dieser Wert dem theoretischen Wert an (Gesetz der großen Zahlen).

Beispiel: Würfel 
Die Wahrscheinlichkeit eine 1 zu würfeln ergibt sich im Experiment durch

Die Wahrscheinlichkeiten für die anderen Zahlen ergeben sich analog. Der Erwartungswert wird berechnet

Exkurs 2: Polarisation von Licht

Polarisation beschreibt die Schwingungsrichtung des Lichts. Normales Tageslicht ist unpolarisiert, es schwingt in alle möglichen Richtungen. Mit einem Polarisator kann die Schwingungsrichtung des Lichts festgelegt werden, man unterscheidet vertikal (hoch-runter) und horizontal (links-rechts) polarisiertes Licht. 

Stellt man zwei Polarisatoren hintereinander und richtet beide gleich aus, so hat der zweite keine Auswirkungen. Alle Photonen können ihn passieren. 

Wird der zweite Polarisator nun um 90° gedreht, blockiert er alle Photonen, sodass nichts den zweiten Polarisator passiert. 

Dreht man den zweiten Polarisator auf einen beliebigen Winkel zwischen 0° und 90°, wird ein Teil des Lichtes durchgelassen. Für jedes einzelne Photon gibt es eine Wahrscheinlichkeit den zweiten Polarisator zu durchqueren. Diese Wahrscheinlichkeit wird berechnet mit dem Gesetz von Malus:

Die Lösung zum EPR-Paradoxon konnte erst 30 Jahre später von John Bell formuliert werden. Er beschrieb 1964 in seiner Veröffentlichung ein Experiment, welches dem Gedankenexperiment von EPR ähnelte, es wurde unter dem Namen „Bell-Experiment“ bekannt. Im Folgenden wird eine Variante des Bellexperiments von J. Clauser, M. Horne, A. Shimony und R. Holt (kurz „CHSH“) betrachtet, da sie experimentell einfacher umsetzbar ist und weniger Vorwissen benötigt.   

Bell stellt in seiner Arbeit ein Experiment vor, welches an dem Gedankenexperiment von Einstein, Podolsky und Rosen angelehnt ist. Es ist schematisch in der unteren Abbildung dargestellt. Es werden zwei Photonen aus einem gemeinsamen Ursprung erzeugt (diese sind bereits polarisiert), beide durchqueren (mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit) einen Polarisator und werden anschließend detektiert. Die Messungen A und B können zwei verschiedene Messwerte liefern, +1 falls ein Photon detektiert wird und -1 falls kein Photon detektiert wird. Die Ergebnisse der Messungen sind abhängig vom eingestellten Winkel und von den verborgenen Variablen der Teilchen. Im Folgenden wird häufig von Koinzidenzen des Experiments gesprochen, diese bezeichnen die Situation, dass beide Detektoren gleichzeitig ein Photon messen.

In seiner Argumentation nimmt Bell nun an, dass Lokalität und Realität immer erfüllt sind. Das heißt, dass Teilchen A und Teilchen B eine festgelegte Polarisation haben, welche sich im Experiment vor der Messung nicht mehr verändern kann. Die maximale Anzahl der gemessenen Koinzidenzen wird durch diese Annahme beschränkt.

Dieses Prinzip wird in der Bellschen Ungleichung verallgemeinert. Die Anzahl der verschiedenen Koinzidenzen sind in den Erwartungswerten enthalten. Für diese Summe kann man, ähnlich wie oben, eine obere Schranke finden für die maximal erlaubten Koinzidenzen. Diese Schranke liegt in der Bellungleichung bei 2. Die vollständige Ungleichung lautet:

Erreicht die Summe der Erwartungswerte einen Wert größer als 2, würde dies bedeuten, dass die getroffenen Annahmen falsch sein müssen. Somit wäre die Realität oder die Lokalität im Versuch verletzt.  

Zum Aufbau 

Kurzzusammenfassung

Einstein-Podolsky-Rosen Paradoxon Quantenphysik: x und p besitzen nicht gleichzeitig Realität
EPR: x und p können gleichzeitig Realität besitzen, daher ist die Quantenphysik nicht vollständig
EPR: Verwende lokale verborgene Variablen statt Quantenphysik
Bellsche Ungleichung Bell: Theorie von EPR wird im Bellexperiment limitiert durch


Wird dieses Limit überschritten, ist die Theorie von EPR falsch
Durchführung des Experiments

Die vollständige Argumentation von John Bell kannst du dir im Artikel "On the Einstein Podolsky Rosen paradox"  aus dem Jahr 1964 durchlesen.